Na postagem anterior, reproduzi um trecho da “palestra Einstein” proferida em 2008 por Freeman Dyson. Naquele trecho, ele divide os grandes matemáticos em pássaros e sapos, e fala um pouco sobre Hermann Weyl.
O discurso completo está disponível aqui.
Hoje trago outro trecho, no qual Dyson fala de Yuri Manin e de John von Neumann (se pronuncia “fon nóiman”).
Assim como o próprio Dyson, von Neumann foi um grande matemático que se destacou na física e contribuiu em várias áreas. A Wikipedia tem uma página dedicada a coisas que têm o nome dele.
Outro pássaro por quem tenho profundo respeito é o matemático russo Yuri Manin, que publicou recentemente um encantador livro de ensaios intitulado Mathematics as Metaphor. O livro foi publicado em Moscou, em russo, e pela American Mathematical Society, em inglês. Escrevi um prefácio para a versão em inglês e apresento aqui uma breve citação do meu prefácio.
A Matemática como Metáfora é um bom slogan para os pássaros. Isso significa que os conceitos mais profundos da matemática são aqueles que ligam um mundo de ideias a outro. No século XVII, Descartes ligou os mundos díspares da álgebra e da geometria ao seu conceito de coordenadas, e Newton ligou os mundos da geometria e da dinâmica ao seu conceito de fluxões, hoje denominado cálculo. No século XIX, Boole ligou os mundos da lógica e da álgebra ao seu conceito de lógica simbólica, e Riemann ligou os mundos da geometria e da análise ao seu conceito de superfícies de Riemann. Coordenadas, fluxões, lógica simbólica e superfícies de Riemann são metáforas, estendendo os significados das palavras de contextos familiares para contextos desconhecidos. Manin vê o futuro da matemática como uma exploração de metáforas que já são visíveis, mas ainda não compreendidas. A metáfora mais profunda é a semelhança estrutural entre a teoria dos números e a física. Em ambos os campos ele vê vislumbres tentadores de conceitos paralelos, simetrias que ligam o contínuo ao discreto. Ele anseia por uma unificação que chama de quantização da matemática.
Manin discorda da história baconiana de que Hilbert definiu a agenda para a matemática do século XX quando apresentou sua famosa lista de vinte e três problemas não resolvidos ao Congresso Internacional de Matemáticos em Paris em 1900. De acordo com Manin, os problemas de Hilbert eram uma distração dos temas centrais da matemática. Manin vê os avanços importantes na matemática vindos de programas, não de problemas. Os problemas geralmente são resolvidos aplicando ideias antigas de novas maneiras. Os programas de investigação são os viveiros onde nascem novas ideias. Ele vê o programa Bourbaki, reescrevendo toda a matemática numa linguagem mais abstrata, como a fonte de muitas das novas ideias do século XX. Ele vê o programa Langlands, unificando a teoria dos números com a geometria, como uma fonte promissora de novas ideias para o século XXI. As pessoas que resolvem problemas famosos não resolvidos podem ganhar grandes prêmios, mas as pessoas que iniciam novos programas são os verdadeiros pioneiros.
Outra figura importante na matemática do século XX foi John von Neumann. Ele era um sapo, aplicando sua prodigiosa habilidade técnica para resolver problemas em muitos ramos da matemática e da física. Ele começou com os fundamentos da matemática. Ele encontrou o primeiro conjunto satisfatório de axiomas para a teoria dos conjuntos, evitando os paradoxos lógicos que Cantor encontrou em suas tentativas de lidar com conjuntos e números infinitos. Os axiomas de von Neumann foram usados por seu amigo pássaro Kurt Gödel, alguns anos depois, para provar a existência de proposições indecidíveis em matemática. Os teoremas de Gödel deram aos pássaros uma nova visão da matemática. Depois de Gödel, a matemática não era mais uma estrutura única ligada a um conceito único de verdade, mas um arquipélago de estruturas com diversos conjuntos de axiomas e diversas noções de verdade. Gödel mostrou que a matemática é inesgotável. Não importa qual conjunto de axiomas seja escolhido como base, os pássaros sempre podem encontrar questões que esses axiomas não conseguem responder.
Von Neumann depois passou dos fundamentos da matemática aos fundamentos da mecânica quântica. Para dar à mecânica quântica uma base matemática sólida, ele criou uma magnífica teoria dos anéis de operadores. Cada quantidade observável é representada por um operador linear, e as peculiaridades do comportamento quântico são representadas fielmente pela álgebra dos operadores. Assim como Newton inventou o cálculo para descrever a dinâmica clássica, von Neumann inventou anéis de operadores para descrever a dinâmica quântica.
Von Neumann fez contribuições fundamentais para vários outros campos, especialmente para a teoria dos jogos e para o design de computadores digitais. Nos últimos dez anos de sua vida, ele esteve profundamente envolvido com computadores. Ele se interessou tanto por computadores que decidiu não apenas estudar seu projeto, mas construir um com hardware e software reais e usá-lo para fazer ciência. Tenho lembranças vívidas dos primeiros dias do projeto de computação de von Neumann no Instituto de Estudos Avançados de Princeton. Naquela época ele tinha dois interesses científicos principais: bombas de hidrogênio e meteorologia. Ele usou seu computador durante a noite para fazer cálculos de bombas de hidrogênio e durante o dia para meteorologia. A maioria das pessoas que circulavam pelo prédio do computador durante o dia eram meteorologistas.
Ouvi von Neumann dar uma palestra sobre os objetivos do seu projeto. Ele falou, como sempre fez, com muita confiança. Segundo ele, “O computador nos permitirá dividir a atmosfera a qualquer momento em regiões estáveis e regiões instáveis. Regiões estáveis que podemos prever. Regiões instáveis que podemos controlar.” Von Neumann acreditava que qualquer região instável poderia ser empurrada por uma pequena perturbação criteriosamente aplicada, de modo que se movesse na direção desejada. A pequena perturbação seria aplicada por uma frota de aviões transportando geradores de fumaça, para absorver a luz solar e aumentar ou diminuir as temperaturas em locais onde a perturbação seria mais eficaz. Em particular, poderíamos parar um furacão incipiente identificando a posição de uma instabilidade suficientemente cedo e depois arrefecendo essa porção de ar antes de começar a subir e formar um vórtice. Von Neumann, falando em 1950, disse que seriam necessários apenas dez anos para construir computadores suficientemente poderosos para diagnosticar com precisão as regiões estáveis e instáveis da atmosfera. Então, uma vez que tivéssemos um diagnóstico preciso, levaria pouco tempo para termos o controle. Ele esperava que o controle prático do clima fosse uma operação rotineira na década de 1960.
Von Neumann, é claro, estava errado. Ele estava errado porque não sabia sobre o caos. Sabemos agora que quando o movimento da atmosfera é localmente instável, é muitas vezes caótico. A palavra “caótico” significa que os movimentos que começam próximos divergem exponencialmente uns dos outros com o passar do tempo. Quando o movimento é caótico, é imprevisível e uma pequena perturbação não o move para um movimento estável que possa ser previsto, mas para outro movimento caótico que é igualmente imprevisível. Assim, a estratégia de von Neumann para controlar o clima falha. Afinal, ele era um grande matemático, mas um meteorologista medíocre.
Edward Lorenz descobriu em 1963 que as soluções das equações da meteorologia são frequentemente caóticas. Isso foi seis anos depois da morte de von Neumann. Lorenz era meteorologista e é geralmente considerado o descobridor do caos. Ele descobriu os fenômenos do caos no contexto meteorológico e deu-lhes nomes modernos. Mas, na verdade, ouvi a matemática Mary Cartwright, que morreu em 1998, aos 97 anos, descrever os mesmos fenômenos numa palestra em Cambridge, em 1943, vinte anos antes de Lorenz. Ela deu nomes diferentes aos fenômenos, mas eram os mesmos. Ela os descobriu nas soluções da equação de van der Pol, que descreve as oscilações de um amplificador não linear. A equação de van der Pol foi importante na Segunda Guerra Mundial porque amplificadores não lineares alimentavam os transmissores nos primeiros sistemas de radar. Os transmissores se comportaram de maneira irregular e a Força Aérea culpou os fabricantes por fabricarem amplificadores defeituosos. Mary Cartwright foi convidada a investigar o problema. Ela mostrou que a culpa não era dos fabricantes. Ela mostrou que a culpa era da equação de van der Pol. As soluções da equação de van der Pol têm precisamente o comportamento caótico de que a Força Aérea se queixava.
Ouvi tudo sobre caos de Mary Cartwright sete anos antes de ouvir von Neumann falar sobre controle do clima, mas não tive visão suficiente para fazer a conexão. Nunca me passou pela cabeça que o comportamento errático da equação de van der Pol pudesse ter algo a ver com meteorologia. Se eu fosse um pássaro e não um sapo, provavelmente teria percebido a ligação e poderia ter evitado muitos problemas para von Neumann. Se ele soubesse sobre caos em 1950, provavelmente teria pensado profundamente sobre isso e teria algo importante a dizer em 1954.
Von Neumann teve problemas no final de sua vida porque ele era realmente um sapo, mas todos esperavam que ele voasse como um pássaro. Em 1954, houve um Congresso Internacional de Matemáticos em Amsterdã. Estes congressos acontecem apenas uma vez em quatro anos e é uma grande honra ser convidado para falar na sessão de abertura. Os organizadores do congresso de Amsterdã convidaram von Neumann para fazer o discurso principal, esperando que ele repetisse o ato que Hilbert havia realizado em Paris em 1900. Assim como Hilbert forneceu uma lista de problemas não resolvidos para orientar o desenvolvimento da matemática no primeiro semestre. do século XX, von Neumann foi convidado a fazer o mesmo na segunda metade do século. O título da palestra de von Neumann foi anunciado no programa do congresso. Era “Problemas não resolvidos em matemática: discurso a convite da comissão organizadora”. Após o término do congresso, foram publicados os anais completos, com os textos de todas as palestras, exceto esta. Nos anais há uma página em branco com o nome de von Neumann e o título de sua palestra. Abaixo está escrito: “O texto desta palestra não está disponível”. O que aconteceu? Eu sei o que aconteceu, porque eu estava na plateia.
A sala estava lotada de matemáticos, todos esperando ouvir uma palestra brilhante, digna de uma ocasião tão histórica. Foi uma grande decepção. Von Neumann provavelmente havia concordado, vários anos antes, em dar uma palestra sobre problemas não resolvidos e depois se esqueceu disso. Estando ocupado com muitas outras coisas, ele negligenciou a preparação da palestra. Então, no último momento, quando se lembrou que precisava viajar para Amsterdã e dizer algo sobre matemática, tirou de uma gaveta uma velha palestra da década de 1930, sobre anéis de operadores. Nada sobre problemas não resolvidos. Nada sobre o futuro. Nada sobre computadores, o assunto que sabíamos que era o mais caro ao coração de von Neumann. Ele poderia pelo menos ter algo novo e interessante a dizer sobre computadores. O público na sala ficou inquieto. Alguém disse em voz alta o suficiente para ser ouvida por todo o salão, Aufgewärmte Suppe, que em alemão significa “sopa requentada”. Em 1954, a grande maioria dos matemáticos sabia alemão o suficiente para entender a piada. Von Neumann, profundamente envergonhado, encerrou rapidamente sua palestra e saiu da sala sem esperar por perguntas.